实验6 迈克尔逊干涉仪的调节和使用V2.0

实验简介

迈克尔逊干涉仪是用分振幅法产生双光束干涉的一种精密仪器，它是由美籍德国物理学家迈克尔逊(A. A．Michelson，1852-1931)为研究光速问题设计制成的。迈克尔逊干涉仪在近代物理发展史上曾为狭义相对论的建立提供了实验基础。它可以精密地测量长度以及长度的微小变化，在光谱线精细结构的研究和用光波标定标准米尺等实验中都有着重要的应用，在现代科学技术中占有重要地位。更是在2017年利用迈克尔逊干涉仪测量引力波，获得了2017年诺贝尔奖。

实验目的

  1. 了解、熟悉迈克尔逊干涉仪的构造。
  2. 利用迈克尔逊干涉仪开展非定域条纹观察和调节以及激光波长的测量。
  3. 利用迈克尔逊干涉仪精密测量空气的折射率。

实验仪器

本实验所用迈克尔逊干涉仪是积木式设备，主要包括氦氖激光器及短焦透镜，分光板及补偿板组，两个平面镜，微动平台，毛玻璃观测屏屏，柱形透射气室，数显气压计，光学面包板，光学平台等。

实验原理

1. 迈克尔逊干涉仪的光路

迈克尔逊干涉仪是一种分振幅双光束的干涉仪。它的光路见图1。从光源S发出的一束光射到分光板G1上，将一束光分为两束光，一束为反射光I，一束为透射光II，二者强度近乎相等。 当激光束以45°角射向G1G1时，被它分为互相垂直的两束光，它们分别垂直射到反射镜M1和M2上，经反射后这两束光再回到G1的半反射膜上，又重新会集成一束光。 G2的作用是方便计算光路I和光路II的光程差。

图1 迈克尔逊干涉仪光路

2. 干涉条纹的图样

图1中的M2是M2被G1反射所成的虚像，从观察者看来，两相干光束是从M1和M2'反射而来，因此，我们把迈克尔逊干涉仪产生的干涉等效为 M1和M2产生的干涉来进行分析研究。

2.1 点光源照明-非定域干涉条纹

激光束经短焦距凸透镜会聚后可得点光源S，它发出球面波照射迈克尔逊干涉仪， 经G1分束及M1和M2反射后射向毛玻璃观测屏FG的光（见图2）可以看成是由虚光源S1和S2'发出的。 其中S1为点光源S经G1及M1反射后成的像，S2'为点光源S经M2及M1反射后成的像（等效于点光源S经G1及M2反射后成的像）。 这两个虚光源S1和S2'所发出的两列球面波，在它们能相遇的空间里处处相干，即各处都能产生干涉条纹。 因此在这个光场中的任何地方放置毛玻璃观测屏都能看到干涉条纹。这种干涉称为非定域干涉。

图2 点光源照明 图3 M1垂直M2条件下的点光源照明

随着S1和S2'与毛玻璃观测屏FG的相对位置不同，干涉条纹的形状也不同。 当毛玻璃观测屏FG与S1S2'连线垂直时(此时M1与M2大体平行)，得到圆条纹，圆心在S1S2'连线和毛玻璃观测屏屏的交点O处。当M1和M2与FG的距离大体相等，且它们之间有一个小夹角将得到直线条纹。其他情况下将得到椭圆或双曲线干涉条纹。

下面分析非定域圆条纹的特性(见图3)。S1和S2'到毛玻璃观测屏上任一点p的光程差为ΔL=S2'P-S1'P。当r<<z，有ΔL=2dcosθ，而cosθ=1-θ2/2，θ=r/z，所以

$$\tag{1} \Delta L = 2d \left(1 - \frac{r^2}{2z^2}\right)$$

亮纹中心（干涉相长）条件：当光程差ΔL=kλ时，有亮纹。其轨迹为圆，有

$$\tag{2} 2d \left(1 - \frac{r^2}{2z^2}\right) = k \lambda$$

若z，d不变，则r越小k越大，即靠中心的条纹干涉级次高，靠边缘（r大）的条纹干涉级次低。

条纹间距：令rk及rk-1分别为两个相邻干涉环的半径，根据式（2）有

$$ 2d \left(1 - \frac{r_k^2}{2z^2}\right) = k \lambda$$ $$ 2d \left(1 - \frac{r_{k-1}^2}{2z^2}\right) = (k-1) \lambda$$

两式相减，得干涉条纹间距为

$$\tag{3} \Delta r=r_{k-1} - r_k =\frac{\lambda z^2}{2r_k d}$$

由此可见，条纹间距Δr的大小由四种因素决定：

  1. 被测介质中的干涉图案（半径减小），Δr减大，干涉条纹向中间靠拢；
  2. 被测介质。即M1与M2的距离增大/减小干涉图，距离增大条纹增大；
  3. z越大，Δr越大。即点光源S、毛玻璃观测屏FG及M1与M2'镜离分光板G1越远条纹越稀；
  4. 波长越长，Δr越大。
2.2 条纹的“吞吐”

缓慢移动M2镜，改变d，可看见干涉条纹“吞”、“吐”的现象。这是因为对于某一特定级次为k1的干涉条纹（干涉环半径为rk1）有

$$ 2d \left(1 - \frac{r_{k1}^2}{2z^2}\right) = k_1 \lambda$$

跟踪比较，移动M2镜，当d增大时，rk1增大，则可以看见条纹“吐”的现象。当d减小时，rk1也减小，则可以看见条纹“吞”的现象。 对圆心处，有r=0，式（2）变成。若M2镜移动了距离 ，所引起干涉条纹“吞”或“吐”的数目，则有

$$2\Delta d=N \lambda$$

所以，若已知波长，就可以从条纹的“吞”“吐”数目N，求得M2镜的移动距离Δd，这就是干涉测量位移的基本原理。 反之，若已知M2镜的移动距离和条纹的“吞”“吐”数目N，由式（5）可求得波长。

2.3 迈克尔逊干涉法测空气折射率

如图4所示。当光束垂直入射至M1，M2镜时，两光束的光程差为 $$\delta=2\left(n_1L_1-n_2L_2\right)$$

式中n1和n2是路程L1，L2上两种介质的折射率。

设单色光在真空中的波长为λ，当δ =kλ，k=0，1，2，3，…时，干涉加强，相应毛玻璃观测屏中心的光强为极大。由式（6）知，两束相干光的光程差不但与几何路程有关，还与路程上介质的折射率有关。 若气室内气体折射率改变量为Δn，则两光束的光程差相应改变2LΔn(L为气室的长度)，从而引起干涉圆环“涌出”或“缩进”N条，则有

$$\Delta n =\frac{N\lambda}{2L}$$
图4 测量空气折射率实验原理图

如果先将气室抽成真空，这时对光的折射率是1.000，然后缓慢充气，使管内气体的压强到p， 这时对光的折射率是n，在这一过程中，折射率改变了Δn=n-1，如果相应条纹变化数为k，则有

$$ \Delta n = n-1 = \frac{N\lambda}{2L}$$ $$\tag{6} n = 1+ \frac{N\lambda}{2L} $$

由上式可知只要能测量出气室由真空变为压强p的条纹变化数k，就可以计算出压强为p时的空气折射率n。

但是由于实际上不可能将气室完全抽成真空，因此若采用此方法做实验，误差就比较大，能达到大约10%。 实验上一般用以下方法间接测量Δk才比较合理。

由于通常情况下，空气的折射率可以用以下公式求出

$$\tag{7} n-1 =\frac{2.8793p}{1+0.003671t}\times 10^-9$$

式中温度t的单位是℃，压强p的单位是Pa。不难看出，当温度一定时，空气的折射率n与压强p成线性关系，所以空气折射率的变化量Δn与压强变化量Δp成正比。 由上面的分析可知当气室由真空变为压强p时，条纹变化数Δk与折射率n之间也是线性关系，因此，空气折射率的变化量Δn与条纹变化数Δk也成正比。 故条纹变化数Δk与压强变化量Δp也成正比。由此可得

$$\tag{8} n=1+\frac{\lambda}{2L}\frac{p}{\Delta p}\Delta k$$

可见只要能测量出管内压强改变Δp时的条纹变化数Δk，根据上式就可以计算出压强为p时的空气的折射率n。

实验内容与步骤

了解迈克尔逊干涉仪的构造；非定域条纹观察和调节以及激光波长的测量；测量空气的折射率。

1. 提示

  1. 不要用手接触镜面；
  2. 利用螺旋测微器读数时应在最小分度基础上再估读一位。
  3. 利用数字仪表读数时，显示的最后一位一般被认为是可疑数位，但也具有物理意义，不应随意舍弃。
  4. 不再人工数环，改用智能手机拍摄干涉环吞吐过程视频，课后（或课中）通过图像识别技术计数干涉环吞吐量。动镜位置可以通过语音同步记录。
  5. 每轮测量动镜都要单向移动，避免造成空程误差。

2. 测量He-Ne激光器波长

将短焦透镜移出迈克耳逊干涉仪光路。调节氦氖激光器支架，使光束平行于仪器的台面，从分光板G1的中心入射并到达平面镜M1和M2。 调节平面镜M1和M2的倾斜角度，使两组光点重合在毛玻璃观测屏FG中央。然后再将短焦透镜置入光路，即可在毛玻璃观测屏屏上获得圆环状干涉条纹。

已知He-Ne激光器的波长在600-700nm之间，根据2Δd=Nλ的关系，估算吞（或吐）400个干涉环时动镜移动的距离D，并按照计算微调杆需要转过的圈数（四舍五入）N1。 匀速转动微调杆，观察干涉环的吞（或吐）过程，选择均匀变化的区间作为实验区间。如果环的间距过小或者过大，可以转动粗调杆进行调整。 固定手机，开启相机视频拍摄功能。调整手机高度和角度，使干涉环对称分布在拍摄区中央。调整感光度，避免过曝。 两位同学合作拍摄，一位同学负责操控手机，另一位同学转动微调杆，每转过一定角度（半圈或者一圈）语音报告一次微调杆的刻度（可用圈数代替，但起点刻度需要记录），直至到达N1。 已知He-Ne激光器的波长在600-700nm之间，实验原理中已知干涉环吞吐数量与动镜位移的定量关系。匀速转动微调杆，观察干涉环的吞（或吐）过程，选择均匀变化的区间作为实验区间。

表1 条纹吞（吐）数目与微调螺杆读数
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3. 测量空气的折射率

仍用He-Ne激光器做光源，将内壁长L的小气室置于迈克耳逊干涉仪光路中，调节干涉仪，获得适量干涉条纹之后，向气室里充气（0-40.0 kPa）， 再稍微松开阀门，以较低的速率放气的同时，记录干涉环的变化数Δk至放气终止，压力表指针回零。 本实验中激光波长λ取632.8 nm，L= 60.0 mm，环境气压p从实验室的气压计读出(条件不具备时，可取101325 Pa)。本实验需重复进行3次，计算平均值。

表2 条纹吞（吐）数目与气压变化
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数据记录与处理

1. 计算并分析激光波长测量结果

1）利用逐差法和最小二乘法分别求激光器的波长，并计算激光器波长测量值与标准值（632.8 nm）的相对误差；2）分析造成逐差法与最小二乘法计算结果不同的原因。

2. 计算空气折射率

根据测量的数据，计算空气的折射率平均值。

3. 提示：

  1. 处理数据过程中需要的表格请自行设计。
  2. 正式报告中的数据处理过程应完整合理，注意正确进行单位换算和合理保留数据有效数位。

思考题

  1. 实验中怎样才能观察到非定域的直条纹和双曲线条纹？
  2. 迈克尔逊干涉仪的分光板G1应使反射光和透射光的光强比接近1:1，这是为什么？

注意事项

  1. 禁止用手触及光学器件的透光表面。分光板、补偿板的位置出厂前已调好平行，禁止改动。
  2. 转动测微螺旋和调节螺丝时动作要轻，不要急促或斜向用力。不要拆卸传动机构，以免影响仪器正常使用。

参考文献

  1. Zheng, Y., Bian, J., Wang, XL. et al. Revisiting Newton’s rings with a plasmonic optical flat for high-accuracy surface inspection. Light Sci Appl 5, e16156 (2016).