一系列测量量{\(x_i\), \(y_i\)}(\(i=1，2，⋯，n)\)理论上满足线性关系\(y=a+bx\)。假设\(x_i\)为非测量量或其不确定度分量非常小可忽略，\(y_i\)为独立、等精度测量量(其不确定度均相同，不随\(i\)变化)。残差方程可写为

根据最小二乘法线性拟合原理有:

$$\tag{2}a=\bar{y}-b\bar{x}$$

$$\tag{3}b=\frac{L_{xy}}{L_{xx}}$$

式中

$$\tag{4}\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}$$

$$\tag{5}\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_i}$$

$$\tag{6}L_{xy}=sum_{i=1}^n{\left(x-\bar{x}\right)\left(y-\bar{y}\right)=\sum_{i=1}^n{x_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i\sum_{i=1}^n{y_i=\sum_{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)y_i}}}}}$$

$$\tag{7}L_{xx}=\sum_{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)^2}=\sum_{i=1}^n{x_i^2}-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2$$

$$\tag{8} ∆=nL_{xx}=n\sum_{i=1}^n{\left(x_i-\bar{x}\right)^2}=n\sum_{i=1}^n{x_i^2}-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2$$

式(2)、式(3)所确定的截距\(a\)和斜率\(b\)具有明显的物理意义，通常包含待测量，所以不仅要求它的值，还要求其不确定度。

为求\(a\)和\(b\)的不确定度，需要先确定\(y\)的不确定度（\(x\)的不确定度前面已经假设为零，实际测量中自变量的不确定度一般要比因变量小）。\(y\)的不确定度来源分为A类和B类（见讲义误差分析章节）。A类不确定度主要由随机误差引入，B类不确定度主要由系统误差引入。考虑到课程难度，本实验暂时只考虑\(y\)的A类不确定度。

由于\(y\)的自由度为\(（n-2）\)，因而其A类不确定度可表示为

$$ \tag{9}u\left(y\right)=t_v\left(p\right)\sqrt{\frac {\sum_{i=1}^n\delta_i^2}{n-2}}=t_v\left(p\right)\sqrt{\frac {\sum_{i=1}^n{(y_i-a-bx_i)}^2}{n-2}}$$

因而斜率\(b\)和截距\(a\)的不确定度可以由下面两式算得：

$$ \tag{10}u\left(b\right)=u\left(y\right)\sqrt{\frac{1}{L_{xx}}}=u\left(y\right)\sqrt{\frac{n}{∆}}$$