1879年，还在攻读博士学位的美国物理学家埃德温·赫伯特·霍尔（Edwin Herbert Hall，1855-1938）研究发现，在长方形导体薄片上通以电流，沿电流的垂直方向施加磁场 ，在与工作电流和磁场两者垂直的两侧面产生了稳定的电势差。这种电磁现象被称为霍尔效应，产生的横向电势差被称为霍尔电势差。霍尔还发现，对于铁磁金属，只通电流不施加磁场也可以观察到横向电势差。这种现象被称为反常霍尔效应。相应的，在非铁磁导体中发现、磁场、电流缺一不可的霍尔效应又被称为普通霍尔效应或者经典霍尔效应，但人们还是习惯用霍尔效应来指代它。对于普通霍尔效应，霍尔电阻（霍尔电势差与工作电流之比）的值一般随磁场的增大而线性增大。

霍尔效应有很多重要的应用。利用霍尔效应可以测量非磁性材料的导电类型和载流子浓度，这是一种非常简单、美妙的测试方法。结合电导率测量结果，可以进一步获取材料的迁移率等关键参数。霍尔效应由此成为研究半导体材料的基础手段。

测量磁场是霍尔效应的另一项重要应用。通过测量霍尔元件输出的霍尔电势差，可以换算出所在磁场的大小。商业化的霍尔传感器会将霍尔元件和功能电路封装到一起，输出放大的线性信号或者数字开关信号，实现对磁场的定量测量或逻辑响应，使用更加方便。与其他磁传感器相比，霍尔传感器具有测量范围宽、响应快、制作工艺简单、线性关系好、精度高等优点。 霍尔传感器可以测量从10^-7T到10T不同强弱程度的磁场。

利用磁场与电场之间的感生关系，霍尔传感器还被用于电流的间接测量（霍尔式电流钳）。这种测量方式不需要侵入电路，具有很高的安全性，是测量高电流、高电压的主要方法之一。

霍尔传感器还被广泛用于位置检测、速度测量、角度测量等。在汽车的发动机、变速箱、转向轴、方向盘、油门踏板、油箱等部件中，经常能看到霍尔传感器的身影；在机器人技术中，霍尔传感器能够精准检测机器人的运动状态，实现精确的位置控制和运动轨迹规划。

在普通霍尔效应和反常霍尔效应被发现约100年后，该领域的研究又取得了突破性的进展，华人科学家在其中作出了一系列重要的贡献。1980年，德国物理学家克劳斯·冯·克利青(Klaus von Klitzing，1943- )等在研究极低温度和强磁场中的半导体时发现了量子霍尔效应（整数量子霍尔效应），这是当代凝聚态物理学中令人惊异的进展之一，他因此获得了l985年的诺贝尔物理学奖。整数量子霍尔效应被发现之后不久，美籍华裔物理学家崔琦（1939- ）和美国物理学家罗伯特·劳克林(Robert B. Laughlin，1950- )、霍斯特·施特默(Horst L. Stoermer，1949- )在更强磁场下研究量子霍尔效应时发现了分数量子霍尔效应，这个发现使人们对量子现象的认识更进一步，他们因此获得了1998年的诺贝尔物理学奖。

1988年，美国物理学家邓肯·霍尔丹（Duncan Haldane，1951-）提出可能存在不需要外磁场的量子霍尔效应，但是多年来一直未能找到能实现这一特殊量子效应的材料体系和具体物理途径。2010年，中科院物理所方忠（1970- ）、戴希（1971- ）带领的团队与张首晟教授等合作，理论上设计出一系列有望观测到量子反常霍尔效应的材料体系。该理论与材料设计的突破引起了国际上的广泛兴趣，许多世界顶级实验室都争相投入到这场竞争中来，沿着这个思路寻找量子反常霍尔效应。2013年，由清华大学教授、中国科学院院士薛其坤（1963- ）领衔，清华大学物理系和中科院物理研究所联合组成的实验团队取得重大科研突破，在磁性掺杂的拓扑绝缘体薄膜中，从实验上首次观测到量子反常霍尔效应。

常规量子霍尔效应的产生需要非常强的磁场，能产生这个强磁场的设备比人还高，体积庞大，而且价格昂贵，不适合个人电脑和便携式计算机。量子反常霍尔效应的美妙之处是不需要任何外加磁场，在零磁场中就可以实现量子霍尔态，人类有可能利用其无耗散的边缘态发展新一代的低能耗晶体管和电子学器件，从而解决电脑和很多电子器件发热问题的瓶颈问题。“量子反常霍尔效应”是中国科学家发现且能写进物理教科书的工作。在过去相当长的一段时间里，被收入教科书的基础科学领域的突破往往源自其他国家科学家的新发现。所以，诺贝尔奖获得者物理学家杨振宁评价薛其坤等的成果：“这让我想起很多年前接到物理学家吴健雄的电话，第一次告诉我在实验室做出了宇称不守恒的实验，这个发现震惊了世界。今天薛其坤及其团队做出的实验成果，是物理学领域最近几年一个重大的成果，这不仅是科学界的喜事，也是整个国家的喜事。”

2019年开年之际，薛其坤院士领导的清华大学、中科院物理所实验团队完成的“量子反常霍尔效应的实验发现”被授予2018年度国家自然科学奖唯一的一等奖。2023年6月，方忠院士率物理所团队完成的“拓扑电子材料计算预测”被授予2023年度国家自然科学奖中唯一的一等奖。而薛其坤院士更是获得了2023年度国家最高科学技术奖。量子反常霍尔效应的发现过程充分证明了跨学科合作与团队努力的重要性，展现了我国科学家契而不舍的创新精神。

霍尔效应的应用已经遍及现代科技、生活、生产的各个领域，并将继续影响世界的未来。

1. 了解霍尔效应的原理
2. 掌握利用霍尔效应测量磁场的方法
3. 掌握利用霍尔效应测量半导体材料输运特性的方法
4. 学习霍尔效应应用设计方法

1. 普通霍尔效应的产生

图18-1 霍尔效应的原理

普通霍尔效应是运动的带电粒子在磁场中受到洛伦兹力发生偏转的结果。在固体材料中，由于这些带电粒子的运动范围被限制，这种偏转会导致在垂直于电流和磁场的方向上，正负电荷在两侧聚集，从而形成横向电场。如图18-1所示，磁场B位于z轴正向，沿x轴正向通以工作电流I_s。假设材料为P型材料，载流子携带的是正电荷，电荷量为q。对于N型材料分析方法类似。

由于洛仑兹力F_L作用，正载流子即向图中虚线箭头所指的位于y轴负方向的①侧偏转，并使①侧形成正电荷积累。由于进出样品的电荷量守恒，在相对的②侧会形成负电荷积累。积累的电荷之间会形成电场，对正载流子产生静电场力，并且这种力会随着积累的增强而不断增大。当洛伦兹力与静电场力大小相等（方向一直相反）时，电荷积累达到动态平衡状态，在①、②两端面之间建立的电场也达到稳定，被称为霍尔电场E_H。沿着电场线方向，在①、②端面之间的电势差U_H被称为霍尔电势差或霍尔电压，在传感器技术领域也被称为霍尔电动势。

设正载流子按均一速度\(\bar{v}\)，向图18-1所示的x轴正方向运动，在磁场B作用下，所受洛仑兹力为

同时，霍尔电场作用于正载流子的力为

设样品沿磁场方向（即z轴方向）厚度为d，载流子浓度为n，则工作电流I_s可表示为 $$ \tag{18-4} {I}_{\mathrm s}=nq\bar{v}wd $$ 由式（18-1）-式（18-4）可得 $$\tag{18-5}{U}_{\mathrm H}={E}_{\mathrm H}w=\frac{1}{nq}\frac {{I}_{\mathrm s}B}{d}$$ 由式（18-5）可知U_H的大小与I_s、B成正比，与d、n成反比。

引入霍尔系数R_H和霍尔灵敏度K_H式的概念，其决定式分别为

和

继而式（18-5）可以改写为

或

R_H只取决于载流子浓度n，单纯代表了材料产生霍尔效应（霍尔电势差）的能力。 K_H则同时取决于材料载流子浓度n和沿磁场方向的厚度d。

当磁场与和样品厚度d的方向不严格同向的时候，产生霍尔效应的有效磁场是B在厚度方向d上的分量Bcosθ，其中θ是B与d方向的夹角。此时 $$\tag{18-10}{U}_{\mathrm H}={K}_{\mathrm H} {{I}_{\mathrm s}B\cos\theta}$$

2. 普通霍尔效应的应用

（1）测量磁场

根据式（18-9），如果霍尔传感器或者霍尔元件的K_H值已知，通以确定的工作电流I_s并测量U_H，便可以得出其厚度d方向磁感应强度B分量的大小和指向：

（2）判断样品的导电类型

图18-2 利用霍尔效应判断样品导电类型

按图18-2所示的I_s和B的方向，若\(U_{\mathrm H}=U_{\mathrm {A}}-U_{\mathrm {A'}}>0\)，即电极A的电位高于A'的电位，样品为P型（载流子为空穴）,反之为N型（载流子为电子）。

（3）测量载流子浓度

由式（18-5）得 $$\tag{18-12}n=\frac{1}{{U}_{\mathrm H}q}\frac {{I}_{\mathrm s}B}{d}$$ 其中\(q=e\)。测出B、U_H、I_s和d，代入式（18-5）就可以得到n。

或者先将R_H测出，再由式（18-6）计算n

（4）结合电导率测量结果，确定载流子迁移率μ

迁移率μ是指载流子（电子和空穴）在单位电场作用下的平均漂移速度，即载流子在电场作用下运动速度快慢的量度。同样的电场，运动得越快，迁移率越大。μ与载流子浓度n共同决定材料电导率（电阻率的倒数）σ的大小： $$\tag{18-14}\sigma={n}q{\mu}$$

由式（18-14）及式（18-6）可得 $$\tag{18-15}{\mu}=\frac{1}{nq}\sigma={R}_{\mathrm H}\sigma$$ 测出σ值和n值（或R_H值）即可求μ值。

3. 系统误差的消除

测量霍尔电势差U_H时，两个测量电极（如图18-2中的A和A’，称之为霍尔电极）之间的电场，除了来自霍尔效应，还会掺杂进其他物理效应产生的电场，使得测出的横向电势差信号U并不等于霍尔电势差U_H，给测量带来误差。除了霍尔效应，贡献横向电势差的附加效应主要包括不等位电势差（U₀）和三种热磁效应：因实际载流子速度不均一产生的埃廷斯豪森效应（U_E）、因工作电流两个引入电极之间存在纵向温差产生的能斯特效应（U_N）和因纵向温差及热电流载流子速率不均一产生的里吉-勒迪克效应（U_RL）（有关四种副效应的介绍见本实验附录）。

研究发现，这些物理效应（含霍尔效应）在霍尔电极之间产生电势差的极性与工作电流I_s 和磁感应强度B的取向存在不同的依赖关系，具体情况见图18-1。

为了减少甚至消除这些附加效应带来的系统误差，可以利用图18-1给出的关系，保持工作电流I_s和磁场B的大小不变（因而五种物理效应产生的电势差的绝对值一定），按照一定次序翻转两者的方向（根据图18-1，五种电势差的方向有相应的翻转），使得主要的附加效应在翻转过程中正负抵销，只保留霍尔电势差（实际不能完全做到）。这种方法被称为对称交换测量法。翻转中，I_s和B组合得到四种状态，对应四个可以直接测量的横向电势差U₁、U₂、U₃和U₄。它们与五种电势差的关系可以表示为： $$ \tag{18-16}U_1={U_{+B,+I_{\mathrm s}}}=U_{\mathrm H}+U_{\mathrm E}+U_{\mathrm N}+U_{\mathrm {RL}}+U_0$$ $$ \tag{18-17}U_2={U_{+B,-I_{\mathrm s}}}=(-U_{\mathrm H})+(-U_{\mathrm E})+U_{\mathrm N}+U_{\mathrm {RL}}+(-U_0)$$ $$ \tag{18-18}U_3={U_{-B,-I_{\mathrm s}}}=U_{\mathrm H}+U_{\mathrm E}+(-U_{\mathrm N})+(-U_{\mathrm {RL}})+(-U_0)$$ $$ \tag{18-19}U_4={U_{-B,+I_{\mathrm s}}}=(-U_{\mathrm H})+(-U_{\mathrm E})+(-U_{\mathrm N})+(-U_{\mathrm {RL}})+U_0$$

作运算U₁-U₂+U₃-U₄，并取平均值，有：

由于U_E方向始终与U_H相同，所以对称交换测量法不能消除它，但一般\(U_{\mathrm E}{\ll}{U_{\mathrm H}}\)，故可以忽略不计。于是

$$ \tag{18-21}U_{\mathrm H}=\frac{1}{4}(U_1-U_2+U_3-U_4)$$

利用建立温度差需要较长时间（秒量级）的特点，采用交变I_s或B，可以进一步减小U_E的影响。

微安恒流电源（提供工作电流），励磁装置（如螺线管、亥姆霍兹线圈、永磁铁，含配套电源），霍尔传感器或霍尔元件，电流换向装置（如铡刀开关、继电器等），伏特计

注意：1）为了减小霍尔电势差的测量误差，避免得出错误结论，请利用对称交换测量法测量霍尔电势差，否则可能得到与事实差别较大甚至相反的结果。2）工作电流最大不要超过霍尔传感器或者霍尔元件的额定电流，一般控制在10mA以内。工作电流太大容易烧毁引线、电极，改变样品或元件的温度。

1.基础内容：确定样品的导电类型

选择合适的工作电流并施加磁场，根据工作电流、磁场、霍尔电势差的相对方向（极性）确定待测样品的导电类型。

2.基础内容：测定样品的霍尔系数、霍尔灵敏度及载流子浓度

给定B、I_s和d，利用对称交换测量法测量U_H。利用这几个参数和测量值的定量关系直接计算求取R_H、霍尔灵敏度K_H及载流子浓度n。

为了进一步减小测量误差，根据式（18-6）、式（18-8）和式（18-9），可以先测取R_H，再算得K_H和n。测量方案可以分为两种：
1）施加垂直磁场B并保持大小不变（方向可翻转）

• ①改变工作电流 I_s大小并利用交换测量法测量霍尔电势差U_H。
• ②横坐标取I_s值，纵坐标取U_H值作图，并进行线性拟合（或用最小二乘法拟合）。直线的斜率为\(R_{\mathrm H}\frac{B}{d}\)，根据已知的B和d值，可以求得R_H值。
• ③根据式（18-6）和式（18-7），以及载流子的电荷量（如：电子电荷量q=-1.6x10^-19C）进一步获得K_H和 n的值。

• ①改变垂直磁场B大小并利用交换测量法测量霍尔电势差U_H。
• ②横坐标取B值，纵坐标取U_H值作图，并进行线性拟合（或用最小二乘法拟合）。直线的斜率为\(R_{\mathrm H}\frac{I_{\mathrm s}}{d}\)，根据已知的I_s和d值，可以求得R_H值。
• ③同前，可以进一步获得K_H和 n的值。

3.基础内容：利用霍尔效应测量磁场

对于待测磁场，根据式（18-11），如果知道霍尔传感器或者霍尔元件的K_H值，给传感器施加大小已知的I_s值，测量输出的霍尔电势差U_H，就可以得到测量点的磁感应强度。需要强调的是，磁感应强度B是矢量，如式（18-10）所示，常用的霍尔传感器只能测量B在样品厚度d方向的一维分量。

注意：根据式（18-7），d越小，霍尔灵敏度K_H越大，同样的B和I_s可以获得更大的U_H，测量结果的信噪比更佳。所以霍尔元件的厚度都比较薄。但是，d也不宜太小。过小的d值会使表面效应的影响变大，霍尔传感器的制作也变得复杂。选择载流子浓度较小的材料制作霍尔传感器，也可以获得更大的K_H值，所以测量磁场用的霍尔传感器一般采用半导体材料。

4.提升内容

1. 了解常用霍尔效应模拟输出传感器的工作原理，包括集成式传感器的工作电路、基本参数的类型和获得方式。
2. 由毕奥萨伐尔定律及磁场叠加原理推导通电亥姆霍兹线圈和螺线管轴线上的磁感应强度的理论公式。根据公式计算磁感应强度的理论值，再通过实验课程得到测量值。将理论值与测量值比较，计算相对误差。在同一坐标系下描绘理论曲线和实验曲线，进行对比，分析误差原因。
3. 霍尔效应实验中采用对称交换测量法消除了大部分副效应的影响，但是埃廷斯豪森效应不能消除。请同学们查阅文献提出消除该附加效应的具体方法并实践。

5.进阶内容（方案自行设计）

1. 设计霍尔电势差放大电路，实现对弱磁场的测量。
2. 三维霍尔磁传感器的制作和应用。

6.高阶内容（方案自行设计）

1. 量子霍尔效应相关现象研究
2. 利用光照（波长、频率等）调控材料的载流子浓度和迁移率，研究其动力学演化机制，尝试用光场精细调控载流子输运特性。
3. 霍尔效应及主要附加效应的第一性模拟

预习思考题

1. 什么叫做霍尔效应？为什么此效应在半导体中特别显著？
2. 怎样确定载流子电荷的正负？
3. 怎样利用霍尔效应测定磁场？
4. 如何测定霍尔灵敏度？

实验过程思考题

1. 用霍尔片测螺线管内磁场时，怎样消除地球磁场的影响？
2. 如何判断磁场B的方向与霍尔片的法线是否一致？它对实验有何影响？

实验报告思考题

1. 利用霍尔效应能测量交变磁场吗？画出线路图并写出测试方法。
2. 试分析霍尔效应测磁场的误差来源。
3. 可以用绝缘体制作霍尔传感器吗？为什么？
4. 利用霍尔片能测间隙磁场吗？它对霍尔片的尺寸与在磁场之中放置的位置有何要求？

1. 吕斯骅等，新编基础物理实验，高等教育出版社，2013年第2版
2. 杨述武等，基础物理实验（2）-电磁学部分，高等教育出版社，2015年第5版
3. 杜保立等，大学物理实验，复旦大学出版社，2017年第1版
4. 吴俊林等，大学物理实验，科学出版社，2013年第1版
5. 刘平安等，普通物理实验，河南大学出版社, 2021年第1版
6. 樊代和等，大学物理实验数字化教程，机械工业出版社, 2020年第1版
7. 吴建平等，传感器原理及应用，机械工业出版社，2017年第3版
8. 杜义林等，物理实验与测试技术，中国科学技术大学出版社，2013
9. 沙振舜等，当代物理实验手册，南京大学出版社，2012年第1版
10. 秦颖等，大学物理实验，高等教育出版社，2022年第1版
11. 郭奕玲等，物理学史，清华大学出版社，2005年第2版
12. 申先甲，中国现代物理学简史，上海科学技术文献出版社, 2021年第1版
13. 李翠莲等，新工科大学物理（下册），上海交通大学出版社，2020年第1版

（a）

（b）

图18-3 不等位电势差（a）霍尔电极位置不对称造成的不等位电势差（b）材料电导率分布不均一或者不对称导致的不等位电势差

1. 不等位电势差

由于霍尔电极与工作电流焊接位置不对称（见图18-3（a））、电极与样品接触不佳、样品电导率分布不均一（见图18-3（b））等原因，导致霍尔电极无法严格位于同一等势面内。此时即使不施加磁场，只要通以工作电流，仍然可以在两个霍尔电极间测到非零的电势差信号，这被称为不等位电势差U₀。U₀与工作电流I_s存在如下关系： $$\tag{18-22}{U}_{0}={I}_{\mathrm s}R_0$$ 其中 R₀是两个霍尔电极分别所在等势面之间的电阻。在霍尔电极和等势面分布已定的情况下，U₀与I_s的大小成正比，且其正负随I_s的方向翻转而翻转。

不等位电势差显然只与工作电流有关，而与磁场无关。

2. 埃廷斯豪森效应（Ettingshausen Effect）或第二能斯特-埃廷斯豪森效应（Second Nernst-Ettinghausen Effect）

图18-4 埃廷斯豪森效应

如图18-4所示，真实材料中的载流子速率并不均一。若速率为\(\bar{v}\)的载流子所受的洛伦兹力与霍尔电场的作用力刚好抵消，则速率小于\(\bar{v}\)的载流子受到的洛伦兹力小于霍尔电场的作用力，将向霍尔电场作用力方向偏转；速率大于\(\bar{v}\)的载流子受到的洛伦兹力大于霍尔电场的作用力，将向洛伦兹力方向偏转。对于正载流子，高于\(\bar{v}\)的载流子会往霍尔电场的高电势一侧聚集，使得这一侧温度较高，另一侧低速载流子较多，温度较低，从而在y方向产生与霍尔电场同向的温差梯度场。由于热电效应，温差会产生与霍尔电动势U_H同极性的温差电势差，这种现象被称为埃廷斯豪森效应，产生的附加电动势用U_E表示。对于负载流子，利用前述分析方法也可以得到相同的结论，即埃廷斯豪森效应产生的附加电势差U_E与U_H的极性相同。

U_E与I_s、B满足如下关系：

与U_H类似，U_E的大小与正负同时受I_s和B的影响，并且两者总是相伴产生。如果采用直流工作电流，埃廷斯豪森效应的存在势必会给霍尔电势差的测量引入难以去除的误差。由于霍尔电场的建立时间比温度场的的建立快得多，如果将工作电流或者磁场改用交流，使得无法建立起稳定的横向温度梯度，埃廷斯豪森效应也就无法产生。因此，采用交变工作电流或者磁场是减小埃廷斯豪森效应影响的有效方法。不过，由于绝大多数情形下U_E会远远小于U_H，将其直接忽略对测量精度也不会产生较大的影响。

3. 能斯特效应（Nernst Effect）或第一能斯特-埃廷斯豪森效应（First Nernst-Ettinghausen Effect）

图18-5 能斯特效应

如图18-5所示，因器件两端工作电流引线电极的接触电阻不等，通电后在两处接触点将产生不同的焦耳热，导致在纵向（x方向）产生温度梯度，引起载流子沿温度梯度方向扩散而产生热扩散电流。热流Q在z方向磁场作用下，在y方向上也会产生一横向电场E_N，在霍尔电极间形成相应的横向电势差U_N。U_N的符号只与B方向有关，与I_s无关，因此可通过改变I_s的方向将U_N与U_H分离开。

4. 里吉-勒迪克效应（Righi-Leduc Effect）

图18-6 里吉-勒迪克效应

如图18-6所示，在能斯特效应中所述的x方向热扩散电流（温度场），因热电流中的载流子的速率并不均一，在z方向磁场B作用下，和在埃廷斯豪森效应中所述的道理相同，将在y方向产生温度梯度，该温度梯度会引入横向电势差U_RL。U_RL的方向只与B的方向有关，亦能通过翻转I_s的方向消除其对U_H的影响。

5.霍尔样品的两种引线方法

研究半导体材料与器件时，磁输运测量是常用、有效的方法。调节磁场和温度，测量结果可呈现经典和量子两种形态。由电阻随磁场和温度的变化，可获得电阻率、霍尔系数、载流子浓度等样品参数，从而了解材料电学特性和自旋特性。 霍尔测试的引线方法分标准法（即Hall bar测试法）和范德堡(Van der Pauw)法。

图18-7 标准接线法

标准法：测试时要求样品为规则的长条形，需要在样品上制作6个电极，如图18-7所示。通常需要长条形的样品其长宽比大于3。测试时，电极5、6两端通恒定电流，测量电极1、3或2、4间的的电势差可以得到纵向电阻或磁电阻，通过测量电极1、2或者3、4间的电势差可以得到霍尔电势差。

图18-8 范德堡接线法

范德堡法：由范德堡在1958提出，针对厚度不均匀、形状不规则的样品，也可进行霍尔测量。测试时在样品边缘做4个电极，如图18-8所示。在选择测电阻时，选择一对相邻的电极通人电流，如电极7和8，在另一对电极之间测量电势差，如电极9和10；再选择7和9电极输入电流，测量8和10之间的电势差，经过一定的计算处理可得到样品的电阻率。在进行霍尔系数测量时，选择不相邻的两个电极通人电流，另外两个电极测量电势差，进一步可得到霍尔系数。